1. 二分搜索概述二分搜索（英语：binary search），也称折半搜索（英语：half-interval search）、对数搜索（英语：logarithmic search），是一种在有序数组中查找某一特定元素的搜索算法。
二分搜索是一种高效的查找算法，适用于在已排序的数组中查找特定元素。它的基本思想是通过不断将搜索区间对半分割，从而快速缩小查找范围。
二分搜索每次把搜索区域减少一半，时间复杂度为 O(logn)（n代表集合中元素的个数）。
二分搜索的基本步骤如下：
初始条件：将搜索范围设为数组的整个区间。
查找中间元素：计算当前区间的中间索引。
比较中间元素：将中间元素与目标值进行比较：
如果中间元素等于目标值，查找成功，返回中间索引。
如果中间元素小于目标值，将搜索范围缩小到右半部分。
如果中间元素大于目标值，将搜索范围缩小到左半部分。
重复步骤 2 和 3，直到找到目标值或搜索范围为空。
在下图中为大家展示了二分搜索的过程：
2. 递归实现递归实现二分搜索的代码如下：
1234567891011121314151617181920212223242526272 ...
数据结构
未读1. 串“天行健，君子一自强不息；地势坤，君子以厚德载物”这是《易经》中的原文，对于普通人而言这就是两句话，对于程序员来说这就是一个数据块，是多个相同类型的字符的集合，在数据结构中将其称之为串。
串（String）是由零个或多个字符组成的有限序列，又名叫字符串。一般记作 s=“a1a2a3……an” （n>=0）。其中，s是串的名称，双引号（或单引号）括起来的字符序列是串的值，但是要注意引号不属于串的内容。
空串: 零个字符的串成为空串，它的长度为0，可以用双引号“”表示
串的长度: 串中的字符的数量就是串的总长度
1.1 串的储存结构串的存储结构和线性表相同，分为两种顺序存储结构和链式存储结构。
顺序存储结构：
串的顺序存储结构是用一组地址连续的存储单元（说白了就是数组）来存储串中的字符序列。
大家都学过C语言，此处就不再展开阐述了。
链式存储结构：
对于串的链式存储结构，与线性表相似，但由于串结构的特殊性，结构中的每一个数据元素是一个字符，那么一个链表节点存储一个字符就存在很大的空间浪费，因此可以考虑使用一个节点存储多个字符，最后一个节点如果没有被 ...
1. 用两个栈实现一个队列根据栈的特性，通过一个栈来实现一个队列的行为是做不到的，所以可以再加一个。用两个栈实现一个队列，可以利用栈的后进先出（LIFO）性质，将栈的顺序反转，从而实现队列的先进先出（FIFO）行为。
具体实现方法如下：
定义两个栈：
stack1：用于入队操作。
stack2：用于出队操作
入队操作（enqueue）：将新元素压入 stack1。
出队操作（dequeue）：
如果 stack2 为空，将 stack1 中的所有元素弹出并压入 stack2。
弹出 stack2 的栈顶元素作为出队元素。
访问队头（front）：元素的操作和出队列相似，只是不需要弹出元素。
下图模拟了数据在两个栈（自定义队列）中的移动过程：
通过上面的描述，可以写出如下的C++代码：
1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374 ...
1. 队列1.1 队列的由来关于常用的受限制的线性表除了栈还有队列。队列与我们的日常生活息息相关，无时无刻都能感受到队列的存在：
早晨起床排队上厕所、洗漱
排队坐地铁、公交上下班，开车也需要排队通过交通路口
排队买早餐，排队在收银口结账，去热门餐厅吃大餐人多还得排队
建设文明和谐的社会需要队列，先进先出、先到先得这是一种公平的体现。由此可见栈、队列都是从日常生活中提炼出的结构化模型，是智慧的结晶。
队列（Queue）作为一种常见的数据结构，遵循先进先出（First In First Out, FIFO）的原则，即最早进入队列的元素最先被移除。队列广泛应用于缓冲区管理、任务调度、消息队列等场景。
和栈一样，队列中也有几个概念需要大家掌握：
队头: 线性表中允许删除数据的一端称为队头
队尾: 线性表中允许插入数据的一端称为队尾
入队列: 将元素添加到队尾的动作叫做入队列
出队列: 将元素从队头删除的动作叫做出队列
空队列: 没有存储任何元素的队列叫空队列，即该线性表是空的
1.2 队列的存储结构因为线性表有两种存储结构顺序存储结构和链式存储结构，所以对于队列而言也有两种存储 ...
在上一个章节中为大家详细讲解了栈的特点和实现，关于栈的现实应用有很多，下面再来给说几个比较常见的案例：括号匹配问题、中缀表达式转后缀表达式、后缀表达式的计算。
1. 括号匹配问题
括号在使用的时候都是成对出现的，分为左右两部分。很多时候我们都需要验证给定的字符串中的括号是否正确匹配，通常包括以下三种类型：
小括号 - ()
大括号 - {}
中括号 - []
如果使用栈来处理这个问题，具体的操作步骤如下：
初始化栈：创建一个空栈，用于存放左括号。
遍历字符串：逐个字符扫描字符串。
如果遇到左括号（(、{、[），将其压入栈中。
如果遇到右括号（)、}、]），检查栈是否为空：
如果栈为空，说明没有匹配的左括号，匹配失败。
如果栈不为空，从栈顶弹出一个左括号，并检查是否与当前的右括号匹配。如果不匹配，匹配失败。
检查栈：遍历结束后，如果栈不为空，说明有未匹配的左括号，匹配失败；否则，匹配成功。
根据上文的详细描述，我们就可以写出对应的C++代码了：
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1. 栈1.1 栈的由来对于大多数人而言都对生活充满了热爱，如果对身边接触到的各种事物仔细观察就会发现它们有很多相似的特性：
给子弹上弹夹，先压进去的最后被发射出来，最后压进去的第一个被发射出来。
浏览器的后退键，第一次后退看到的是最后浏览的页面，最后一次后退看到的是第一次浏览的页面
带编辑功能的软件，比如：Office、Photoshop、IDE，第一次撤销得到的最后一次修改的内容，最后一次撤销得到的是第一次修改的内容
如果在以上的某一个场景下进行连续的操作，按照线性表的描述我们就可以得到一个从前到后的序列，并且在访问序列中的元素的时候是按照从后往前的顺序进行的。
如果对线性表中元素的访问进行了限制，那么这个线性表就被称作受限制的线性表。常用的受限制的线性表有栈和队列。
栈（Stack）是一种常见的数据结构，它遵循后进先出（Last In First Out，LIFO）的原则，即最新添加的元素最先被移除，也就是它要求仅能在表尾进行元素的插入和删除。
关于栈有几个相关的概念需要大家掌握：
栈顶: 线性表允许插入、删除的一端被称为栈顶
栈底: 线性表不允许插入、删除的一端被称为栈底 ...
数据结构
未读1. 双向循环链表的结构在上一个章节中为大家详细讲解了双向链表，按照单向链表的思路继续对它进行改进，双向链表的首尾就可以相接，这样就得到了一种新的链表 ——双向循环链表。
1.1 双向循环链表的节点双向循环链表是一种特殊的链表结构，链表中的节点不仅有前驱和后继指针，还需要让链表的最后一个节点的后继指针指向第一个节点，第一个节点的前驱指针指向最后一个节点。
假设双向循环链表的节点存储的是整形数据，那么该节点的定义如下：
1234567// 定义一个节点，此为 C++ 语法struct Node{ int data = 0; Node* next = nullptr; Node* prev = nullptr;};
双向循环链表的节点结构包含三个部分：
数据域（data）：存储节点的值
前驱指针（prev）：指向前一个节点
后继指针（next）：指向后一个节点
在操作双向循环链表的时候通常会定义两个辅助指针：头节点指针和尾节点指针，头指针指向链表的第一个节点，尾指针指向链表的最后一个节点。
和前面讲过的链表一样，双向循环链表也可以分为带头 ...
1. 双向链表的结构对于单向链表和单向循环链表而言有一个共同的特点，就是链表的每个节点都只有一个指向后继节点的指针，通过这个指针我们就可以从前往后完成对链表的遍历。但是开弓没有回头箭，遍历到尾节点之后再想要回到头结点，是无能为力的。
1.1 双向链表的节点为了克服链表单向性这一缺点，聪明的程序猿们便进行了改进，设计出了双向链表。双向链表（Doubly Linked List）是一种常见的数据结构，与单向链表不同的是，双向链表中的每个节点包含两个指针，一个指向前驱节点，一个指向后继节点。双向链表的这种特性使得我们可以从任意节点高效地向前或向后遍历。
假设双向链表的节点存储的是整形数据，那么该节点的定义如下：
1234567// 定义一个节点，此为 C++ 语法struct Node{ int data = 0; Node* next = nullptr; Node* prev = nullptr;};
双向链表的节点结构包含三个部分：
数据域（data）：存储节点的值
前驱指针（prev）：指向前一个节点
后继指针（next）：指向后一个节点 ...
1. 缘起约瑟夫问题又叫约瑟夫环或丢手绢问题。故事据说发生在古罗马时期，在罗马人占领乔塔帕特后，39个犹太人与约瑟夫及他的朋友躲到一个洞中，他们宁愿死也不要被敌人抓到，于是约定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下1个人重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。但是约瑟夫和他的朋友并不想死，就开始计算要站在什么地方才能避免被处决。
很显然如果想要逃避死亡，约瑟夫和他的朋友的死亡顺序应该是倒数第一和倒数第二，那么如何才能快速计算出这两个位置呢？
通过上图的推演大家应该是受到了启发，这个问题的本质其实就是循环链表的问题，围成一个圈之后，一个一个顺序报数，这就是相当于是在遍历循环链表。数到对应数字的出列，这就相当于是搜索并删除了循环链表中的一个节点！
2. 解决问题既然处理约瑟夫问题需要用到循环链表，那么这个链表是选择带头结点的还是不带头结点的呢？
仔细分析之后相信大家选择的都是不带头结点的循环链表，因为现在的需求是通过最后一个数据节点直接找到链表中的第一个数据节点，如果是带头结点的循环链表，由于头结点不携带任何数据，在完成一轮遍历之 ...
数据结构
未读1. 单向循环链表的结构在上一个章节中为大家详细讲解了单向链表，由于它的每个节点只有一个指向后继节点的指针，通过这个指针我们只能从前往后对链表进行遍历。当遍历到链表尾部的时候再想回到从前是绝对不可能了。想要实现从链表尾部往前遍历有两种解决方案就是使用循环链表或者双向链表。
1.1 单向循环链表循环链表又分为单向循环链表和双向循环链表，我们先来研究单向循环链表。将单向链表的尾节点的后继指针由指向空指针改成指向头结点，就使整个单链表形成一个环，这种头尾相接的单链表就称之为单向循环链表。
在单向循环链表中的每个节点的结构和单向链表是相同的，假设单向循环链表的节点存储的是整形数据，那么该节点的定义如下：
123456// 定义一个节点，此为 C++ 语法struct Node{ int data = 0; Node* next = nullptr;};
1.2 头结点如果对单向循环链表再次进行细分可以分为两类：带头结点的单向循环链表和不带头结点的单向循环链表。
下图是不带头结点的单向循环链表：
如果单向循环链表不带头结点，它的尾节点的后继指针指向的是链 ...
